*** Ancien sujet de bac : métropole, juin 2014

Partie A

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par ${\mathcal{C}}_1$ la courbe représentative de la fonction $f_1$ définie sur $\mathbb{R}$  par $f_1(x)=x+{\text{e}}^{-x}$ .

1. Justifier que ${\mathcal{C}}_1$ passe par le point $\text{A}$ de coordonnées $(0;1)$ .

2. Déterminer le tableau de variation de la fonction $f_1$ . On précisera les limites de $f_1$ en $+\mathrm{\infty }$ et en $-\mathrm{\infty }$ .

Partie B
L’objet de cette partie est d'étudier la suite $\left(I_n\right)$ définie sur  $\mathbb{N}$ par  ${\displaystyle I_n={\int }_0^1(x+{\text{e}}^{-nx})\text{d}x}$ .

1. Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$  pour tout entier naturel $n$ , on note  ${\mathcal{C}}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$  par  $f_n(x)=x+{\text{e}}^{-nx}$ .
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe ${\mathcal{C}}_n$ pour plusieurs valeurs de l'entier  $n$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x=1$ .

    a. Interpréter géométriquement l'intégrale $I_n$ .
    b. En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$ et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie pour conjecturer.

2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$ ,  ${\displaystyle I_{n+1}-I_n={\int }_0^1{\text{e}}^{-(n+1)x}(1-{\text{e}}^x)\text{d}x}$ .
En déduire le signe de $I_{n+1}-I_n$ puis démontrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente.

3. Déterminer l'expression de $I_n$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(I_n\right)$ .