*** Ancien sujet de bac : métropole, juin 2014

Partie A

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par \(\mathscr{C}_1\) la courbe représentative de la fonction \(f_1\) définie sur \(\mathbb R\)  par \(f_1(x) = x + \text{e}^{-x}\) .

1. Justifier que \(\mathscr{C}_1\) passe par le point \(\text A\) de coordonnées \((0~;~1)\) .

2. Déterminer le tableau de variation de la fonction \(f_1\) . On précisera les limites de \(f_1\) en \(+ \infty\) et en \(- \infty\) .

Partie B
L’objet de cette partie est d'étudier la suite \(\left(I_n\right)\) définie sur  \(\mathbb N\) par  \(\displaystyle I_n = \int_0^1 \left(x + \text{e}^{- nx}\right)\:\text{d}x\) .

1. Dans le plan muni d'un repère orthonormé \(\left(\text O~;\overrightarrow i,\overrightarrow j\right)\)  pour tout entier naturel \(n\) , on note  \(\mathscr{C}_n\) la courbe représentative de la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R\)  par  \(f_n(x) = x + \text{e}^{- nx}\) .
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe \(\mathscr{C}_n\) pour plusieurs valeurs de l'entier  \(n\) et la droite \(\mathscr{D}\) d'équation \(x = 1\) .

    a. Interpréter géométriquement l'intégrale \(I_{n}\) .
    b. En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite \(\left(I_n\right)\) et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie pour conjecturer.

2. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(1\) ,  \(\displaystyle I_{n+1} - I_{n} = \int_{0}^1 \text{e}^{-(n + 1)x} \left(1 - \text{e}^{x}\right)\:\text{d}x\) .
En déduire le signe de \(I_{n+1} - I_{n}\) puis démontrer que la suite \(\left(I_n\right)\) est convergente.

3. Déterminer l'expression de \(I_{n}\) en fonction de \(n\) et déterminer la limite de la suite \(\left(I_n\right)\) .